如图16-13 所示的模型中包含3个弹性体部件:皮带、带轮和轮轴，在三者垂直于z轴的端面上定义了边界条件 u3=0(即z方向固定)，在轮轴中心的圆孔上定义了固支边界条件，在轮轴和带轮之间定义了接触关系，摩擦系数为0(带轮可以绕轮轴自由转动)。在带轮和皮带之间也定义了接触关系，摩擦系数为0.2。皮带上下端面分别受到相等的均布拉力p。
图 16-12主面应比从面大
图16-13 模型示意图
此模型提交分析后，无法收敛，在msg文件中出现了如下的“数值奇异”警告信息:***warning:solver problem,numerical singularity when processing nodepart-3-1.484 d.o.f iratio=1.13133e 014.
*** warning:solver problem, numerical singularity when processing nodepart-3-1.484d.0.f2rati0=1.63163e 0i5.此问题应如何解决?
错误原因
此模型从表面上看一切正常，但实际上犯了一个接触分析中的常见错误:在建模时仅仅考虑了如何模拟工程实际情况，而没有充分考虑是否为每个部件都定义了足够的约束，以避免它们出现不确定的刚体平动或刚体转动。
此模型中，带轮和皮带都可以绕z轴自由转动，即它们各个节点的位移u1和u2是不确定的，所以会出现上述的“数值奇异”警告信息。
有些读者可能会对此感到困惑——作用在皮带上的两个拉力大小相等，整个模型已经处于静力平衡状态，为什么带轮和皮带还会绕z轴自由转动呢?前面已经介绍过，这种“因为静力平衡，所以不会转动”的因果关系只是我们头脑中的逻辑分析结果，而abaqus/standard的求解过程是，迭代尝试各种可能的位移状态，检验它们是否能够满足静力平衡方程。在本实例中，无论带轮和皮带绕z轴发生多大的转动，都可以满足静力平衡，即符合静力平衡条件的位移解有无限个，因此分析无法收敛。
下面举一个更简单的例子以便加深读者对此问题的理解。图16-14a中所示的二维平板两端受到均布拉力，如果直接对整个平板建模，没有边界条件，一定会出现“数值奇异”警告信息。这时尽管整个平板处于静力平衡状态，但仍然会出现不确定的刚体位移，因为整个平板是悬浮在空中的，有无数种可能的位移状态。
正确的建模方法如图16-14b所示，根据对称性，只取1/4建模，在两个对称面上分别定义对称边界条件。这个简单的实例体现了一个有限元建模的重要原则:模型中仅仅靠两个外力达到静力平衡是不够的，必须要借助于边界条件处的支反力达到平衡。只有这样，才能保证满足静力平衡方程的位移解是唯一的，静力分析才能够收敛。
读者可能会想到，既然错误的关键在于带轮和皮带能够绕z轴自由转动，那么是否在带轮和轮轴之间定义一个大于0的摩擦系数就可以解决此问题呢?这涉及接触分析的另一个重要原则:尽量不要依靠摩擦来约束刚体的平动和转动，而应该根据工程实际定义尽可能多的边界条件。因为在分析刚开始时，各个接触关系还没有建立起来，摩擦力无法起到约束作用。
正确的解决方法是，由于模型是关于xz平面和xy平面对称的，应该只取1/4进行建模，在两个对称面上分别定义对称边界条件(如图16-15所示)。
图16-15.利用对称性，只取1/4建模
这时各个部件的约束状况变为：
1)轮轴--定义了固支边界条件，约束住了全部6个自由度。
2)带轮--对称边界条件ysymm约束住了y方向的平动以及绕x轴和绕z轴的转动对称边界条件zsymm约束住了z方向的平动以及绕x轴和绕y轴的转动，这样带轮只可能发生x方向的刚体平动，这要通过与轮轴的接触来消除。
3)皮带--与带轮的情况类似，只可能发生x方向的刚体平动，这要通过与带轮的接触来消除。
提示：建立任何静力分析模型时，都应该使用上述方法，检查全部6个自由度上的刚体平动和转动是否都受到了约束。
上面提到，带轮和皮带的x方向刚体平动要通过接触关系来消除，这就涉及另一个接触分析的重要原则--如果需要通过接触来消除刚体位移，应注意以下几点：
1) 定义接触时，要让位置误差限度(adjust参数)略大于主面和从面在模型中的距离，以保证这两个面之间能够建立起接触关系。2)要在接触面之间定义一定的过盈量，以保证两个面在分析开始时就是紧密接触的。3)在第一个分析步中，只施加很小的载荷，以保证接触关系能够平稳地建立起来。在下一个分析步中，再施加真实大小的载荷。
《实例详解》第5.2.4节“设定接触面之间的距离或过盈量”和5.2.8节“解决接触分析中的收敛问题”详细讨论了以上内容。
解决方法
假如本实例中的模型不具有对称性，无法定义对称边界条件，这时应如何约束各个自由度呢?分析思路如下：
通过接触可以约束带轮和皮带的x方向和y方向的平动，以及绕x轴和绕y轴的转动。对于z方向的平动，应在带轮和皮带上选择适当的区域，定义边界条件u3=0(即z方向固定)。这样没有被约束的自由度只剩下绕:轴的转动，前面已经强调过，尽量不要只靠摩擦来约束刚体平动和转动，正确的解决方法是，如图16-16所示，在旋转轴上定义一个参考点，在带轮的一个圆形棱边和这个参考点之间定义分布耦合约束(distributecoupling)，然后在这个参考点上定义边界条件 ur3=0。类似地，再为皮带定义一个参考点，重复上述探作(如图16-17所示)，在皮带和参考点之间建立耦合约束，并在此参考点上定义边界条件ur3 。
图16-16在带轮和参考点之间建立耦合约束
图 16-17在皮带和参考点之间建立耦合约束
这样，皮带和带轮都仍然可以变形，但不能发生绕z轴的刚体转动。
在约束实体的刚体转动时，一种常见的错误做法是，简单地在边界条件中定义节点的转动自由度为0(例如ur3=0)。在本书第8.2.1节“集中载荷和弯矩载荷”中已经介绍过三维实体(solid)单元只有平动自由度u1、u2、u3，没有转动自由度ur1、ur2、ur3因此定义ur3=0不会起到任何作用。尽管在abaous/cae的操作界面中可以定义ur3=0，但这种无效的边界条件在提交分析时会被忽略掉。
另外，本实例中需要约束的是整个实体绕z轴的刚体转动，而节点转动自由度的含义是以这个节点为中心的转动，在边界条件中定义节点转动自由度为0，并不符合本实例的要求。
（内容、图片来源：《abaqus有限元分析常见问题解答》，侵删）
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